Reconstruindo Da Vinci: Uma Proposta de Modelagem Geométrica com o uso do software GeoGebra

Diego Lieban

IFRS – Campus Bento Gonçalves

Neste trabalho é apresentada uma atividade realizada no IFRS – Campus Bento Gonçalves, Rio Grande do Sul, na qual foi proposto aos alunos que reproduzissem inventos desenvolvidos por Leonardo Da Vinci. A ideia era que além do protótipo físico, os alunos projetassem o mesmo no Software de Geometria Dinâmica GeoGebra, tratando de valorizar as articulações dos mecanismos existentes. Assim, fazendo uso da tecnologia para trabalhar modelagem, aliam-se duas vertentes da Educação Matemática que são cada vez mais difundidas em prol de uma aprendizagem centrada no aluno.

Introdução

As novas tecnologias estão cada vez mais presentes no cotidiano de todos, em casa, no trabalho, na rua, e particularmente nos ambientes e meios de ensino têm despertado a atenção dos professores e alunos por seu potencial didático em sala de aula. O uso do computador pode trazer muitos benefícios, mas para isso é necessário escolher programas e softwares adequados, e uma metodologia que tire proveito das características positivas do computador.

Para isso os professores devem estar preparados a utilizar o software como apoio em suas aulas. A preparação aqui mencionada vai além do domínio instrumental dos equipamentos de informática e conhecimento dos diferentes recursos de um software específico. Consiste fundamentalmente em ter domínio conceitual suficiente do conteúdo programático, de modo que permita uma boa organização sobre a estratégia de ensino com a utilização de um determinado software.

A geometria, bem como a teoria dos números e praticamente toda a matemática, não deveria ser uma atividade para espectadores como muitas vezes acontece em sala de aula e, nesse sentido, softwares de Geometria Dinâmica (GD) são um convite em potencial para combater o ostracismo que assola muitos alunos no estudo deste ramo da matemática.

No trabalho é apresentado uma atividade na qual foi proposto aos alunos que reproduzissem inventos desenvolvidos por Leonardo Da Vinci. A referência maior e ponto de partida do projeto foi o livro Leonardo – Códices& Máquinas, que traz registros de diversas de suas contribuições e apartir do qual os alunos deveriam selecionar, por turma, o modelo a ser reproduzido. A ideia era que além do protótipo, os alunos projetassem o mesmo no Software de Geometria Dinâmica GeoGebra, tratando de valorizar as articulações dos mecanismos existentes.

A escolha pelo trabalho com GeoGebra fez-se por acreditar que ele potencializa o aprendizado do aluno, uma vez que tem interface acessível e atraente, com menus interativos e dá condições de construções dinâmicas, ou seja, as ações do lápis, borracha, régua e compasso são levadas com precisão para a tela do computador e, tão rapidamente quanto dispor objetos na área de trabalho, você pode retirá-los. Contudo, é fundamental que reforcemos sempre a reflexão sobre os papéis do professor e do aluno diante da tecnologia: nem deixar o aluno liberto demais (a ponto de sentir-se desassistido), nem fazer por ele as etapas que contribuam significativamente para o seu aprendizado (instruindo com uma série de “passo a passo”, por exemplo).

 

O Ensino da Matemática Apoiado na Tecnologia 

A geometria da forma como é habitualmente trabalhada, muitas vezes não permite que o aluno visualize com clareza propriedades inerentes de certas construções, independente das dimensões que tenham. Por exemplo, que os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito a uma circunferência são suplementares.

 Logicamente que mais do que visualizar, espera-se que o aluno convença-se, com argumentos consistentes, da validade desta proposição. Entretanto, o caminho da generalização e formalização passa frequentemente pela observação do fato para diferentes casos. E esse é um recurso que não é natural com uma abordagem com lápis, papel e demais instrumentos de desenho. Além de exigir muita precisão ao manusear com algumas ferramentas, demandaria algum tempo. A Geometria Dinâmica (GD), ao contrário, propicia que com um simples arrastar de mouse, o aluno perceba a preservação, ou não, de certas propriedades e isso acabe por estimular a capacidade do aluno em conjecturar e estabelecer relações para então, a partir de uma etapa de identificação dos objetos, construir o processo dedutivo (demonstração), tão importante não só em geometria como em outras áreas da matemática.

Além disso, fazer uso da tecnologia para trabalhar modelagem alia duas vertentes da Educação Matemática que são cada vez mais difundidas em prol de uma aprendizagem significativa. Sobre essas tendências, Zorzan (2007) preconiza o recurso da tecnologia, defendendo que:

Atualmente, em pleno século XXI, quando as máquinas possibilitam informações e soluções em um tempo reduzido, não é mais possível que a escola continue a desmerecer ou desconsiderar a tecnologia em suas propostas pedagógicas. [..] a escola não pode abrir mão dos novos recursos tecnológicos disponíveis, do contrário, tornar-se-á um espaço obsoleto e desvinculado das reais necessidades oriundas da inteligência humana. E, refletindo sobre a prática da modelagem em sala de aula, a mesma autora esclarece que:

A tendência da modelagem matemática exige do professor o trabalho de condução do estudo matemático, literalmente excluindo a relação transmissor-receptor no ensino da disciplina. O professor, em sua função, deverá, pela sua competência técnica e política, problematizar as questões norteadoras do tema e conteúdos abordados. A Educação Matemática, nesta perspectiva, assume a matemática como linguagem para o estudo de problemas e situações reais, devendo proporcionar aos sujeitos o uso da imaginação criadora e o desenvolvimento da capacidade de ler e interpretar a realidade e os saberes matemáticos. Portanto, o estudo da matemática segundo a modelagem requer a interação entre realidade e matemática, com o que se torna possível “representar uma situação ‘real’ com ‘ferramental’ matemático (modelo matemático).”

É fundamental, porém, para que o uso da GD possa contribuir na construção de uma aprendizagem significativa, que o professor sinta-se seguro para fazer uso da tecnologia, pois não é suficiente apenas disponibilizar ferramentas se a aplicação delas não for pensada e estudada previamente. Da mesma forma, lidar com modelagem exige que o docente tenha uma estratégia metodológica bem definida, cercando-se, assim, de eventuais desdobramentos que possam vir a dispersar o foco do objeto de estudo.

O professor, portanto, deve assumir um papel de parceiro, conduzindo atividades que visem a exploração e a descoberta e favoreçam a criatividade e o envolvimento do aluno com o assunto em questão. Para Gravina (1996), a GD proporciona uma nova abordagem ao aprendizado geométrico, onde conjecturas são feitas a partir da experimentação e criação de objetos geométricos. Deste modo, podemos introduzir o conceito matemático dos objetos a partir da resposta gráfica oferecida pelo programa de GD, surgindo daí o processo de argumentação e dedução.

 Assim, em uma prática em que o sujeito participa e percebe os resultados de suas ações e mais, faz uso desta interação para o desenvolvimento do conhecimento, entende-se haver aprendizagem significativa (conceito sugerido por Ausubel), que só obtém-se quando um novo conhecimento é construído sobre conhecimentos prévios. Mais do que isso, Ausubel (1978) ainda destaca que:

É importante reconhecer que a aprendizagem significativa (independente do tipo) não quer dizer que a nova informação forma, simplesmente, uma espécie de ligação com elementos preexistentes na estrutura cognitiva. Na aprendizagem significativa, o processo de aquisição de informações resulta em mudança, tanto da nova informação adquirida, como no aspecto especificamente relevante da estrutura cognitiva ao qual essa se relaciona. (apud CARVALHO, BARONE e ZARO, 2011)

Corroborando com esta perspectiva, Zorzan (2007) alega que:

Nesse sentido, os recursos tecnológicos desse contexto precisam ser estudados, analisados, para servirem de constructos a novas maneiras e possibilidades de constituição do saber escolar. De modo especial, o ensino da matemática não pode mais ater-se a um ensino memorístico, no qual se enfatizam as tabuadas e o exercício de cálculos, pois essas atividades não atendem às necessidades sociais. Assim, diante do desenvolvimento do pensamento, do conhecimento, da produção e da cultura, o ensino da matemática, como também das outras áreas do conhecimento, necessita de transformações nos aspectos didático-metodológicos.

Em resumo,como a GD possibilita visualizar uma mesma construção de diversas formas, e assim facilitar a compreensão do comportamento geométrico dos elementos envolvidos, podemos utilizar um programa de GD para revelar relações geométricas intrínsecas que poderiam passar despercebidas numa representação estática. Com isso, o professor pode, e deve, incentivar o espírito investigativo do aluno, solicitando ao final uma justificativa para as relações encontradas (uma demonstração), podendo ser mais formal de acordo com o nível de aprendizagem do aluno.

Figura 1: Catapulta
Figura 1: Catapulta

 

Figura 2: Cremalheira
Figura 2: Cremalheira

 

Figura 3: Martelo com Came
Figura 3: Martelo com Came

 

Figura 4: Barco a Palas
Figura 4: Barco a Palas

Veja todo o desenvolvimento do trabalho e detalhamento das atividades pode ser conferido em http://tube.geogebra.org/material/simple/id/1300709#

Tecendo Matemática com Arte

Katia Regina Ashton Nunes

Associação Educacional Miraflores – Niterói – RJ

Que tal trabalhar muitos dos conceitos matemáticos presentes no Ensino Fundamental através do estudo e análise de obras de arte?

Esta é a minha proposta. Há anos pesquiso as relações existentes entre duas importantes áreas do conhecimento: a Matemática e a Arte, e nesse período muitos projetos foram desenvolvidos com artistas plásticos de destaque mundial. A pesquisa gerou a publicação de cinco livros: Fazendo Arte com a Matemática, Tecendo Matemática com Arte, Descobrindo Matemática na Arte, Matemática-Práticas Pedagógicas para o Ensino Médio, e o mais recente, Fazendo arte com a matemática- 2ed, que vem reformulado, e com um novo capítulo dedicado a artistas brasileiros que participaram dos Movimentos, Concretista e Neoconcretista. Eles foram publicados pela editora Artmed/ Grupo A e em todos tive o privilégio de ter como parceira a Drª Estela Kaufman Fainguelernt, minha mestre inspiradora e de uma legião de educadores matemáticos.

O ensino da Matemática centrado em si mesmo, limitando-se à exploração de conteúdos meramente acadêmicos, de forma isolada, sem qualquer conexão entre seus próprios campos ou com outras áreas de conhecimento, pouco tem contribuído para a formação integral do aluno, com vistas à conquista da cidadania. (PCN Matemática)

Minha intenção com este trabalho é fazer com que o espaço da sala de aula de Matemática se transforme num ambiente de argumentação, de pesquisa, e de construção de conhecimentos. Um espaço onde se desenvolva a diversidade de pensamento, a intuição, a imaginação, e a criatividade. E onde o professor possa assumir o papel de propositor, mediador de aprendizagens. E foi na Arte que encontrei uma grande aliada para alcançar meus objetivos.

Conhecer arte envolve o exercício conjunto do pensamento, da intuição, da sensibilidade e da imaginação (PCN Arte)

Na pesquisa, me inspirei nas ideias de Lygia Clark que revolucionou a arte brasileira e o espaço do Museu, ao se deslocar da posição de artista inteiramente responsável pela criação de uma obra para a de propositora, rompendo com a ideia de que a arte devia ser apenas contemplada. Lygia Clark criou objetos de arte que estimulavam a participação ativa do público e sua interação com a obra.

Em 1960 cria a série Bichos, que são objetos constituídos por placas de metal que se unem por meio de dobradiças, possibilitando infinitas posições quando manipulados. E em 1964, Caminhando, obra em que o participante cria uma fita de Mobius. Ao percorrê-la, o próprio participante realiza a obra de arte.

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Figura 1: Bicho. Lygia Clark (1960)

 

Figura 2: Caminhando. Fonte: Lygia Clark (1964)
Figura 2: Caminhando. Fonte: Lygia Clark (1964)

Durante a investigação ficou evidente a influência mútua de uma dessas áreas sobre a outra desde os primeiros registros históricos que temos de ambas. Muitos foram os artistas de diferentes tendências da arte que utilizaram a Matemática na elaboração de suas obras. Focando nossos olhares somente a partir do século XX, cito Picasso e o Cubismo, Mondrian e o Neoplasticismo. E ainda Max Bill, que dizia que o elemento de toda obra plástica é a Geometria, relação de posições sobre o plano e no espaço; e Escher cuja obra se impõe a qualquer estudo relacionando Matemática com Arte. Ele dizia “sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que como os meus colegas artistas”.

Os exemplos do encontro entre Matemática e Arte podem ser multiplicados enormemente.

Nesse texto relatarei, de forma bem sucinta, alguns dos muitos projetos que foram vivenciados por alunos da Associação Educacional Miraflores- Niterói, escola que atuo como Coordenadora de Matemática.

Um dos projetos envolveu obras de Luiz Sacilotto, artista brasileiro que dizia que a geometria era a sua paixão, e foi desenvolvido no 8º e 9º anos do Ensino Fundamental.

Esse importante artista foi pioneiro no âmbito da tridimensionalidade, ao desdobrar o plano no espaço. Ele também foi um dos precursores da op art no Brasil, criando uma pintura que explora fenômenos óticos, num jogo ambíguo com as formas.

Iniciamos o projeto reunindo estudos sobre a vida e obra desse artista procurando caracterizar o momento histórico, político e social de sua época. Passamos então a pesquisar o Movimento Concretista Brasileiro, do qual ele foi um dos mais fiéis representantes e pesquisar sobre outros artistas que integravam esse importante movimento. É importante destacar que no Brasil, o Concretismo  penetrou não só na pintura e escultura, como também na poesia e arquitetura.

Figura3 - Reprodução de obras. Fonte: o autor
Figura 3 – Reprodução de obras. Fonte: o autor.

 

Figura 4 - Reprodução de obras. Fonte: o autor.
Figura 4 – Reprodução de obras. Fonte: o autor.

 

Em outra etapa do projeto, propus aos alunos a reprodução de algumas   obras de Sacilotto e a criação de diferentes leituras, além da análise e construção com recortes e dobraduras de papel de duas esculturas, Concreção 5816 e Concreção 5839. Durante e após as reproduções e a construção das esculturas, muitos conceitos matemáticos foram explorados. Por exemplo, ao trabalhar com a obra Concreção 5816, de dimensões 45x45x45cm, pedi aos alunos que descobrissem qual o diâmetro e o raio do círculo que deu origem a escultura? E ainda, qual a área desse círculo? E qual o comprimento de sua circunferência?

Figura 5 - Concreção 5816. Fonte: Fonte: Sacilotto(1958)
Figura 5 – Concreção 5816. Fonte: Fonte: Sacilotto(1958)

 

Figura 6 - Concreção 5839. Fonte: Sacilotto(1958)
Figura 6 – Concreção 5839. Fonte: Sacilotto(1958)

 

Figura 7- Construção de uma obra. Fonte: o autor.
Figura 7- Construção de uma obra. Fonte: o autor.

 

Ao final pedi aos alunos que criassem sua própria escultura utilizando a técnica empregada por Sacilotto; dando um título a ela e registrando os conteúdos matemáticos que poderiam ser explorados a partir dela.

A culminância do projeto se deu com a montagem de uma exposição dos trabalhos realizados.

Concreção 5629 foi outra obra escolhida para este projeto. A partir dela explorei dentre outros o estudo dos triângulos, e outros polígonos, ângulos, congruência e semelhança de figuras, Teorema de Tales, perímetro, e área.

Figura 8 - Concreção 5629. Fonte: Sacilotto (1956)
Figura 8 – Concreção 5629. Fonte: Sacilotto (1956)

Ainda desenvolvi o projeto Simetria e Arte com alunos do 8º ano. Escolhi para o trabalho obras de Milton Dacosta, dentre elas, Figura com Chapéu. Nela foi aplicada a reflexão.

Figura 9 - Figura com Chapéu. Fonte: Dacosta (1957)
Figura 9 – Figura com Chapéu. Fonte: Dacosta (1957)

Outras obras fizeram parte do projeto, Quatro grupos de elementos e Espaço virtual, ambas de Judith Lauand, conhecida como a Dama do Concretismo. Na primeira há simetria de translação e na segunda há rotação de 60° em torno do ponto central do hexágono que figura na obra.

Figura 10 - Quatro grupos de elementos. Fonte: Judith Lauand (1959)
Figura 10 – Quatro grupos de elementos. Fonte: Judith Lauand (1959)
Figura 11 - Espaço virtual. Fonte: Judith Lauand (1960)
Figura 11 – Espaço virtual. Fonte: Judith Lauand (1960)

 

E ainda a obra Planos em Superfície modulada n.4 de Lygia Clark, nela há simetria de rotação de 180°(simetria central).

Figura12- Planos em Superfície modulada n.4. Fonte: Lygia Clark (1957)
Figura12- Planos em Superfície modulada n.4. Fonte: Lygia Clark (1957)

Dando sequência ao trabalho apresentei aos alunos, obras de Escher onde foi possível observar diferentes pavimentações. Nessas pavimentações identificamos translações, rotações, reflexões e composições dessas transformações.

 Os alunos ficaram surpresos ao saber que Escher descobriu sozinho que, combinando uma ou mais isometrias é possível obter 17 tipos de mosaicos.

Figura 13 - Limite circular I. Fonte: Escher (1958)
Figura 13 – Limite circular I. Fonte: Escher (1958)
Figura 14 - Peixe/barco. Fonte: Escher (1958)
Figura 14 – Peixe/barco. Fonte: Escher (1958)

Após descrição/ apreciação das obras, estudo da vida e obra dos artistas e leituras das obras escolhidas para o trabalho, propus aos alunos que pesquisassem outras obras de arte que apresentassem os diferentes tipos de simetria ilustrados anteriormente. Depois, muitas atividades foram desenvolvidas com o objetivo de consolidar os conceitos e finalmente foi proposta a criação de obras utilizando cada um dos tipos de simetria estudados que podiam ser construídas com material de desenho ou ainda um software de geometria dinâmica entre eles, o Geogebra.

Outro projeto, denominado Poliedro–Arte, foi desenvolvido no 9º ano Ensino Fundamental, e focou suas pesquisas em artistas plásticos que utilizaram diferentes poliedros construção de suas obras, entre eles, Franz Weissmann, Regina Silveira, Milton Dacosta, Nelson Leirner e M. C. Escher.  As obras desses artistas permitiram a exploração de conceitos como sólidos geométricos, vértices, faces, arestas, relação de Euler, vistas de objetos, planificações dos sólidos, área total, volume do cubo, os Poliedros de Platão, e planos de simetria do cubo.

Figura 15 - Cubo Mágico. Fonte: Leirner (1971)
Figura 15 – Cubo Mágico. Fonte: Leirner (1971)

 

Figura 16 - Estrelas. Fonte: Escher (1948)
Figura 16 – Estrelas. Fonte: Escher (1948)

Ao longo todos os projetos que já desenvolvia História, a Geografia e a Língua Portuguesa são disciplinas que se integram de modo natural ao trabalho, possibilitando assim a criação, em sala de aula, de um diálogo interdisciplinar permanente.

Para conhecer um pouco mais sobre este trabalho e descobrir como é gostoso trabalhar matemática com arte basta acessar o site www.matematicaearte.com.br

 

Antônio Cardoso do Amaral, de Cocal dos Alves (PI)

Fonte: Site da OBMEP

Números nunca foram a paixão do piauiense Antônio Cardoso do Amaral, de 34 anos. Na escola, seu coração batia mais forte por ciências e língua portuguesa. Mas, no raciocínio lógico, ele sempre foi craque. Tanto que, na hora de decidir que carreira seguir, deixou de lado o coração e se valeu de uma fórmula simples: mais demanda = mais oportunidades de trabalho. E foi assim que o jovem foi estudar matemática. Antes mesmo de se formar, já dava aulas. O resultado? Bem, Cocal dos Alves, um lugarejo de cerca de seis mil habitantes, no sertão do Piauí, é a prova real de que, às vezes, o amor demora a acontecer. Mas quando acontece… a cidade acumula 172 premiações na OBMEP. São 101 menções honrosas, 44 medalhas de bronze, 13 medalhas de prata, 14 de medalhas de ouro, conquistadas por 87 alunos. Um resultado impressionante para um município cujo Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é um dos 50 mais baixos do país e onde cerca de 95% da população vivem do Bolsa-Família.

– Estamos ganhando essa luta com exemplos. Hoje, todos os alunos de Cocal dos Alves que fazem o Enem passam para a Universidade Federal do Piauí. Todos, sem exceção. Tenho jovens cursando medicina, engenharia, nutrição, matemática. Alguns estão no Ciência sem Fronteiras. Sem a OBMEP, isso seria impensável – afirma Antônio, professor da Unidade Escolar Augustinho Brandão.

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Mestrado Profissional de Matemática em Rede Nacional – PROFMAT

O Mestrado Profissional de Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) tem como objetivo proporcionar formação matemática aprofundada relevante ao exercício da docência no Ensino Básico, visando dar ao egresso qualificação certificada para o exercício da profissão de professor de Matemática.

O PROFMAT funciona em modalidade semipresencial e desde sua primeira turma, em 2011, já ofereceu 5.837 vagas. Atualmente, possui 67 instituições associadas contemplando as 27 unidades federativas, num total de 90 campi. Só em 2013, 1281 discentes receberam seu título de mestre (dados atualizados em outubro de 2014). O Exame Nacional de Acesso ao PROFMAT 2015 ocorreu em 1° de novembro de 2014.

Maiores informações estão disponíveis aqui.

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Maria Botelho Alves Pena, E. E. Messias Pinheiro, MG

Por Assessoria de Imprensa do IMPA.
Fonte: http://www.obmep.org.br/destaques.DO?id=287

Na ponta do lápis, a professora Maria Botelho Alves Pena já alcançou aquele número com que muitos brasileiros sonham: os 30 anos necessários para se aposentar. Mas quem disse que esse resultado compensará uma vida dedicada ao ensino? Não mesmo, raciocina a mineira de Monte Carmelo, que transformou a Escola Estadual Messias Pedreiro, de Uberlândia, em uma das campeãs nacionais da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Usando mais o coração do que a lógica, Maria não pretende abandonar as salas de aula tão cedo. Acabou de concluir o mestrado – com uma tese justamente sobre os “causos” da OBMEP – e vai trabalhar como coordenadora das olimpíadas.

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